Мультиплексорный метод реализации булевых функций схемами из произвольных логических элементов

Статья опубликована в журнале "Известия РАН. Теория и системы управления". 2003. №1. с. 105-109. Раздел "Искусственный интеллект".

Аннотация

(C) 2003 г. А.А.Шалыто

Федеральный научно-производственный центр ГУП "НПО "Аврора"",
Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики
(технический университет)

Отсюда можно скачать полный текст статьи в формате pdf (138 кб)

Одной из важнейших задач в области логического синтеза является задача построения комбинационных схем, реализующих булевы функции, из произвольных априори известных логических элементов. Эта задача является достаточно сложной, и поэтому рассмотрим вопрос о реализации одной булевой функции.

Возможны два подхода к построению комбинационных схем: от входов к выходу и от выхода к входам.

Среди методов, основанных на первом подходе, отметим формульный метод. При его использовании реализуемая булева функция и функция, описывающая элемент (порождающая функция элемента), задаются нормальными булевыми формулами, которые могут содержать скобки произвольной глубины, а их двухместные операции подчиняются сочетательному закону. Этот метод строит схему, число элементов в которой, линейно зависит от числа букв в заданной формуле.

В настоящей работе излагается метод, основанный на втором подходе, который назван мультиплексорным методом. При использовании этого метода реализуемая булева функция и функция, описывающая элемент, задаются таблицами истинности. Метод строит одновыходную комбинационную схему от выхода к входам и основан на декомпозиции булевых функций (заданной и ее остаточных). Он относится к классу декомпозиционных методов синтеза. При этом декомпозиция выполняется на основе предлагаемого в настоящей работе нового подхода к решению логических уравнений.

Выполненный обзор декомпозиций булевых функций, методов решения логических уравнений и декомпозиционных методов синтеза комбинационных схем позволяет утверждать, что в настоящее время отсутствует эффективный метод синтеза схем рассматриваемого класса.

Настоящая работа призвана восполнить этот пробел в области логического синтеза.

В ходе разработки мультиплексорного метода:

• выполнен обзор методов синтеза булевых функций схемами из произвольных логических элементов и показано, что несмотря на почти 50-летнюю историю эта задача не была решена;
• введено понятие "мультиплексорная декомпозиция". Эта декомпозиция выполняется по образу мультиплексорной функции и является разделительной;
• предложена стандартная схема, состоящая из мультиплексора и двух постоянных запоминающих устройств, реализующая мультиплексорную декомпозицию;
• предложен метод построения мультиплексорных декомпозиций на основе нового эффективного подхода к решению логических уравнений, которые "красиво" не удавалось решать почти в течение 100 лет (Lowenheim L. Uber die Auflosung von Gleichungen in Logishen gebietkalkul. //Math. Annal. 1910. Bd.68);
• предложены параметрическая и явная мультиплексорные формы для решения логических уравнений. По уравнению, записанному одной из таких форм, достаточно просто определяется число решений и для каждой из этих форм существует конструктивный и наглядный подход к построению каждого из решений. При этом выбор конкретного решения на каждом шаге в настоящее время выполняется эвристически;
• предложен мультиплексорный метод реализации произвольных булевых функций на произвольных, априори заданных логических элементах, основанный на исследовании функциональных возможностей указанных элементов, составлении и решении в мультиплексорной форме для каждого шага декомпозиции логического уравнения. Предлагаемый метод является обобщением наиболее широко метода синтеза схем из мультиплексоров;
• на примерах из литературы выполнено сравнение универсального (по виду функций, описывающих применяемые при синтезе элементы) предлагаемого метода с известными методами синтеза схем, использующими элементы определенного вида (например, мажоритарные).

Показано, что и в этих случаях предлагаемый метод строит схемы, сложность которых обычно не выше, чем при использовании специализированных методов.